Lưu trữ

Posts Tagged ‘OTĐH’

Bài 2. Cực trị của hàm số (OTĐH)

30/08/2010 1 Bình luận

I. Khái niệm cực trị
1. Định nghĩa : Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền D, x_0 \in D
+ x_0 gọi là điểm cực đại của f(x) nếu tồn tại khoảng (a; b) \subset D, x_0 \in (a; b) sao cho : f(x) < f(x_0), \forall x \in (a;b)\backslash\{x_0\}. Khi đó f(x_0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số và điểm M(x_0; f(x_0)) gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số y = f(x).
+ x_0 gọi là điểm cực tiểu của f(x) nếu tồn tại khoảng (a; b) \subset D, x_0 \in (a; b) sao cho : f(x) < f(x_0), \forall x \in (a;b)\backslash \{x_0\}. Khi đó f(x_0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số và điểm M(x_0; f(x_0)) gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = f(x).
+ Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là các điểm cực trị.
2. Điều kiện cần, điều kiện đủ cho cực trị.
a) Định lý 1 (điều kiện cần): Nếu hàm số y = f(x) có đạt cực trị tại x_0 và có đạo hàm tại x_0 thì f'(x_0) = 0
b) Định lý 2 (điều kiện đủ) : Cho hàm số y = f(x) liên tục trên (a; b) và có đạo hàm trên các khoảng (a; x_0), (x_0; b). Khi dó
+ Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x_0 thì hàm số đạt cực đại tại x_0
+ Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua x_0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x_0
c) Định lý 3 (Điều kiện đủ) : Cho hàm số y = f(x) khả vi trên (a; b), x_0 \in (a; b) và có f'(x_0) = 0, f''(x_0) \ne 0 thì.
+ Nếu f''(x_0) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x_0
+ Nếu f''(x_0) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x_0
* Nhận xét :
(1) Định lý 2 cho thấy không nhất thiết f(x) phải có đạo hàm tại x_0, chỉ cần đạo hàm qua đó đổi dấu là được (x_0 phải thuộc tập xác định của hàm số.
(2) Định lý 3 chỉ dùng được với các hàm khả vi trên toàn khoảng (a; b), kể cả tại điểm x_0 ta cần xét; thường định lý này chỉ dùng cho các hàm số mà việc xét dấu của đạo hàm cấp 1 phức tạp (như các hàm lượng giác chẳng hạn)
(3) Trong định lý 3, nếu f''(x_0) = 0 thì chưa thể nói gì về điểm x_0, nó có thể là cực đại hoặc cực tiểu, cũng có thể không là điểm cực trị, có thể thấy điều đó qua các ví dụ : y = x^3, y = x^4, y = -x^4 với điểm cần xét là x_0 = 0. (Các bạn tự kiểm chứng điều này)

II. Vận dụng các định lý giải các bài toán cực trị
Dựa vào 3 định lý trên ta có 2 quy tắc tìm cực trị cho hàm số y = f(x) trên (a; b) như sau :
1. Quy tắc 1.
+ Tính đạo hàm f'(x), giải phương trình f'(x) = 0 tìm các nghiệm và tìm các giá trị của x mà f'(x) không xác định.
+ Lập bảng xét dấu cho đạo hàm (bảng biến thiên), từ đó suy ra cực trị theo định lý 2.
2. Quy tắc 2.
+ Tính các đạo hàm f'(x), f”(x), giải phương trình f'(x) = 0 để tìm nghiệm x_0.
+ Xét dấu của f''(x_0) và kết luận theo định lý 2. Trường hợp f''(x_0) = 0 ta phải trở lại dùng quy tắc 1 để xét.

3. Các ví dụ vận dụng
Ví dụ 1. Tìm cực trị của các hàm số sau
a. y = -x^3 + 12x
b. y = x - 3 + \frac{9}{x-2}
c. y = \frac{x}{\sqrt{10-x^2}}

d. y = 3 - 2cosx - cos2x

Lời giải

a.Tập xác định : R

+ y' = -3x^2 + 12, y'=0 \Leftrightarrow x = \pm 2
+ lập bảng biến thiên suy ra điểm cực đại x = 2, y(2) = ? và điểm cực tiểu x = -2, y(-2) =?

b. Tập xác định : R\backslash \{ 2\}

+ Ta có : y' = 1 - \frac{9}{(x-2)^2}; y' = 0 \Leftrightarrow (x - 2)^2 = 9. Giải được các nghiệm x = -1, x = 5.

+ Lập bảng biến thiên:

Suy ra điểm cực đại x = -1, y(-1) = -7 và điểm cực tiểu x=5, y(5) = 5.

c. Tập xác định : D = (-\sqrt{10}; \sqrt{10})

+ Ta có : y' = \frac{10}{(10 -x^2)\sqrt {10 -x^2}} > 0,\forall x \in D \backslash \{ -\sqrt {10} ;\sqrt {10} \}

+ Đạo hàm không đổi dấu trên tập xác định nên hàm số không có cực trị.

d. Tập xác định : R

+ Ta có y' = 2sinx + 2sin2x = 2sinx(1 + 2cosx) ;y' = 0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}sin x = 0\\cos x=-\frac{1}{2}\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x_1 = k\pi\\x_2=\pm\frac{2\pi}{3}+k\pi\\\end{array}\right.

+ y'' = 2cosx + 4cos2x
+ Xét lần lượt các giá trị x_1, x_2 ta có :

y''(x_1) = 2cos(k\pi) + 4cos(2k\pi) = 4 + 2cos(k\pi) \ge 4 - 2 = 2 > 0,

nên x_1 là điểm cực tiểu của hàm số.

y''(x_2) = 2cos(\pm \frac{2\pi}{3} + k\pi) + 4cos(\pm \frac{4\pi}{3} + k2\pi) = -2 + 2cos(\pm \frac{2\pi}{3} + k\pi) \le -2 + 1 = -1 < 0

nên x_2 là điểm cực đại của hàm số.

Ví dụ 2. Tìm m để hàm số y=mx^3+3x^2+5x+2 đạt cực đại tại x = 2
Lời giải
* Điều kiện cần : x = 2 là điểm cực trị nên : y'(2)=0\Leftrightarrow 12m+17=0\Leftrightarrow m=-\frac{17}{12}
* Điều kiện đủ : Thay m=-\frac{17}{12} vào hàm số và kiểm tra lại thấy x = 2 là một điểm cực đại của hàm số.
Kết luận : m=-\frac{17}{12} là điều kiện cần tìm.
* Chú ý : Nếu x = x_0 thỏa mãn điều kiện \left\{\begin{array}{l}y'(x_0)=0\\y''(x_0)<0\\\end{array}\right. thì x_0 là một điểm cực đại của hàm số,
nhưng điều ngược lại có thể không đúng, chẳng hạn x = 0 là điểm cực đại của hàm số y =-x^3, nhưng lại không thỏa hệ trên. Do vậy điều kiện x=x_0 là điểm cực đại và điều kiện hệ \left\{\begin{array}{l}y'(x_0)=0\\y''(x_0)<0\\\end{array}\right. là không tương đương nhau. Tương tự với điều kiện cực tiểu. Do vậy cách làm theo điều kiện cần và đủ sẽ chính xác hơn!!!

Ví dụ 3. Tìm m để hàm số y=\frac{x^2+mx+1}{x+m} đạt cực đại tại x = 2.
Lời giải
+ Tập xác định : R\backslash\{-m\}
+ x = 2 là cực trị nên nó phải thuộc tập xác định, tức là m\ne-2
+ Ta có y'=\frac{x^2+2mx+m^2-1}{(x+m)^2}
* Điều kiện cần : y'(2) = 0\Leftrightarrow m^2+4m+3=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=-1\\m=-3\\\end{array}\right.
* Điều kiện đủ : Kiểm tra lại 2 giá trị trên thì m = -1 bị loại, còn lại m = -3 thỏa mãn điều kiện x = 2 là điểm cực đại của hàm số.
Kết luận : Vậy m = -3 là điều kiện cần tìm.

Ví dụ 4. Tìm m để hàm số y=\frac{1}{3}x^3+mx^2+(m+6)x-1 có cực đại và cực tiểu
Lời giải
+ Tập xác định : R
+ Ta có : y'=x^2+2mx+m+6
+ hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt, tức là ta phải có \Delta'>0\Leftrightarrow m^2-m-6>0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m>3\\m<-2\\\end{array}\right.
* Nhận xét : Đạo hàm y’ là một tam thức bậc hai, để có cực trị thì y’= 0 phải có nghiệm và qua nghiệm đó phải đổi dấu, trường hợp \Delta\le0 thì y’ không đổi dấu (luôn cùng dấu với hệ số a, cùng lắm là bằng 0 tại điểm x=-\frac{b}{2a}). Do vậy phải có \Delta >0, khi đó y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và rõ ràng nó đổi dấu khi đi qua 2 nghiệm nên ta có đồng thời cực đại và cực tiểu. Qua đây cũng có thể thấy hàm số bậc 3 luôn có cùng 1 lúc cả hai cực trị (cực đại và cực tiểu) hoặc không cực trị. Và cũng thấy điều kiện cần và đủ để hàm số bậc 3 có cực trị là : \Delta_{y'}>0

Bài tập vận dụng :
Bài 1. Tìm cực trị của các hàm số sau :
a. y = -x^3 - 5x
b. y = x^4 - 3x^2 + 4
c. y = \frac{x^2 + x - 5}{x + 1}
d. y = \frac{x}{x^2 + 4}
e. y = x\sqrt{3-x}
f. y = \frac{x^3}{\sqrt{x^2-6}}
g. y = x - sin2x + 2
h. y = cosx + \frac{1}{2}cos2x, x \in [0; \frac{3\pi}{2}]
Bài 2. Tìm m để hàm số y = x^3 - mx^2 + (m - \frac{2}{3})x + 5 có cực trị tại x = 1. Khi đó x = 1 là cực đại hay cực tiểu?
Bài 3. Tìm a, b sao cho f(x) = ax + \frac{b}{x+1} đạt cực đại tại x = -2 và f(-2) = -2
Bài 4. Tìm m để hàm số y = \frac{x^2+mx}{1-x} có cực trị
Bài 5. Tìm m để hàm số y = \frac{m}{3}x^3 - 2(m + 1)x^2 + 4mx - 1 có cực đại, cực tiểu.

Chuyên mục:Chuyên đề Thẻ:

Bài 1. Tính đơn điệu của hàm số (OTĐH)

26/08/2010 Bình luận về bài viết này

I. Hàm số đơn điệu :
1. Định nghĩa : Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D \subset R\ (D là khoảng, đoạn, nửa khoảng trong R)
+ f(x) gọi là đồng biến trên D nếu : \forall x_1, x_2 \in D, x_1 < x_2 thì f(x_1) < f(x_2)
+ f(x) gọi là nghịch biến trên D nếu : \forall x_1, x_2 \in D, x_1 < x_2 thì f(x_1) > f(x_2)
+ Hàm số f(x) đồng biến hay nghịch biến trên D gọi chung là ĐƠN ĐIỆU  trên D.

2. Điều kiện cho hàm số đơn điệu
a. Điều kiện cần : Cho y = f(x) có đạo hàm trên miền D.
+ Nếu f(x) đồng biến trên D thì : f'(x) \ge 0 \forall x \in D
+ Nếu f(x) nghịch biến trên D thì : f'(x) \le 0 \forall x \in D
b. Điều kiện đủ : Cho y = f(x) khả vi (có đạo hàm) trên miền D.
+ Nếu f'(x) \ge 0, \forall x \in D và f'(x) = 0 tại hữu hạn điểm trên D thì f(x) đồng biến trên D
+ Nếu f'(x) \le 0, \forall x \in D và f'(x) = 0 tại hữu hạn điểm trên D thì f(x) nghịch biến trên D

* Nhận xét:
+ Các hàm số đa thức, phân thức và hàm số chứa căn mà ta xét thường chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm nên ta chỉ quan tâm đến dấu của đạo hàm là chủ yếu.
+ Các hàm số lượng giác tuần hoàn nên chỉ cần xét dấu đạo hàm trên một chu kì.

II. Vận dụng hai định lý trên xét tính đơn điệu của hàm số
1. Dạng 1. Xét tính đơn điệu
Các bước thực hiện :
+ Tìm tập xác định của hàm số
+ Tính đạo hàm f'(x), giải phương trình f'(x) = 0 và tìm các giá trị của x mà f'(x) không xác định
+ Lập bảng biến thiên (xét dấu đạo hàm) rồi kết luận

Ví dụ 1. Xét sự biến thiên của các hàm số sau :
a. y = f(x) = x^4 - 2x^2 +3
b. y = f(x) = \frac{x}{\sqrt{10 - x^2}}
c. y = f(x) = cosx + \frac{1}{2}cos2x
Lời giải
a. Tập xác định R
+ y' = 4x^3 - 4x ; y' = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm1 \\ \end{array} \right.
+ bảng biến thiên :

Suy ra Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 0) và (1;+\infty); nghịch biến trên các khoảng (-\infty; -1) và (0; 1).
b. Tập xác định D = [-\sqrt{10}; \sqrt{10}]
+ y' = \frac{10}{(10 - x^2)\sqrt{10 - x^2}}, \forall x \in D\backslash\{ -\sqrt {10} ,\sqrt {10}\};
+ Bảng biến thiên :


Suy ra Hàm số đồng biến trên D.
c. Tập xác định R; hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2\pi, chỉ cần xét trên đoạn có độ dài bằng 2\pi, chẳng hạn [0; 2\pi]
+ y' = -sinx - sin2x; y' = 0 \Leftrightarrow sinx(1 + 2cosx) = 0 \Leftrightarrow \{x = 0, x = \frac{2\pi}{3}, x = \pi, x = \frac{4\pi}{3}, x = 2\pi\}
+ Bảng biến thiên :
Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng (0; \frac{2\pi}{3}) và (\pi; \frac{4\pi}{3}); đồng biến trên các khoảng (\frac{2\pi}{3}; \pi) và (\frac{4\pi}{3}; 2\pi)

Bài tập áp dụng :
Bài 1. Xét sự biến thiên của các hàm số sau :
a. y = f(x) =x^3 - 3x^2 + 1
c. y = f(x) = \frac{x - 1}{x + 2}
d. y = f(x) = x - 1 + \frac{1}{x + 2}
Bài 2. Xét sự biến thiên của các hàm số sau :
a. y = f(x) = x\sqrt{3-x}
b. y = f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 6}
c. y = f(x) = x - sin2x + 2

2. Dạng 2. Các bài toán chứa tham số

* Lưu ý : Với các bài toán tìm tham số, thường đòi hỏi tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến hay nghịch biến trên một khoảng nào đó. Thông thường có thể vận dụng điều kiện tam thức bậc hai để giải quyết. Tuy nhiên, hiện nay định lý đảo về dấu của tam thức bậc 2 không còn được trình bày trong chương trình phổ thông, do vậy, để xử lý trường hợp trên ta có thể vận dụng các hướng sau :

Hướng 1. Đạo hàm thu được chứa tham số chỉ có một bậc, ta có thể cô lập tham số về một vế trong bất phương trình : f'(x) \ge 0 hoặc f'(x) \le 0, để đưa được về dạng : \varphi(m) \le g(x) hoặc \varphi(m) \ge g(x). Tiếp đó lập bảng biến thiên của g(x) và tìm điều kiện tương ứng.

Hướng 2. Thông thường các bất phương trình : f'(x) \ge 0 hoặc f'(x) \le 0 là bậc 2, ta có thể sử dụng tính chất min, max của hàm số bậc 2 như sau : Cho hàm số y = h(x) = ax^2 + bx + c, (a \ne 0), trên [\alpha; \beta]. Khi đó ta có :

+ Nếu \frac{-b}{2a} \in [\alpha; \beta] thì \mathop {\min }\limits_{{\rm{[}}\alpha {\rm{;}}\beta {\rm{]}}} h(x) = \min \{ h(\alpha ),h(\beta ),h({\textstyle{{ - b} \over {2a}}}){\rm{\} }};\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}}\alpha {\rm{;}}\beta {\rm{]}}} h(x) = {\mathop{\rm m}\nolimits} {\rm{ax}}\{ h(\alpha ),h(\beta ),h({\textstyle{{ - b} \over {2a}}}){\rm{\} }}

+ Nếu \frac{-b}{2a} \not \in [\alpha; \beta] thì \mathop {\min }\limits_{{\rm{[}}\alpha {\rm{;}}\beta {\rm{]}}} h(x) = \min \{ h(\alpha ),h(\beta ){\rm{\} }};\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}}\alpha {\rm{;}}\beta {\rm{]}}} h(x) = {\mathop{\rm m}\nolimits} {\rm{ax}}\{ h(\alpha ),h(\beta ){\rm{\} }}
Ví dụ 1. Tìm m để hàm số : f(x) = \frac{1}{3}x^3 + mx^2 + 4x + 3 đồng biến trên R
Lời giải
+ ta có f'(x) = x^2 + 2mx + 4; hàm số đồng biến trên R khi f'(x) \ge 0, \forall x \in R(1)
+ f'(x) là tam thức bậc 2 với hệ số a = 1 > 0 nên điều kiện (1) tương đương với \Delta \le 0; giải điều kiện \Delta' \le 0 ta được |m| \le 2.
* Nhận xét : Có thể thấy điều kiện (1) tương đương với : minf'(x) = f'(-m) = -m^2 + 4 \ge 0 \Leftrightarrow |m| \le 2, điều này có được do tính chất của hàm số bậc 2 với hệ số a = 1 > 0, trên R thì đạt min tại đỉnh, mà điều kiện (1) cho thấy min của f'(x) phải không âm.
Ví dụ 2. Tìm m để hàm số : f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + (m-1)x^2 + (m+3)x + 3 đồng biến trên (0; 3)
Lời giải
+ Chú ý rằng f(x) là một hàm số liên tục trên R nên ta có thể xét rộng ra trên đoạn [0; 3]. Khi đó điều kiện bài toán tương đương với :
f'(x) = -x^2 + 2(m - 1)x + m + 3 \ge 0, \forall x \in [0; 3] (1)
Hướng 1. Ta cô lập m như sau :
(1) \Leftrightarrow (2x + 1)m \ge x^2 + 2x - 3, \forall x \in [0; 3] (1'), và chú ý rằng với \forall x \in [0; 3] thì 2x + 1 > 0, nên ta có thể viết lại (1') \Leftrightarrow m \ge \frac{x^2 + 2x - 3}{2x + 1} = g(x), \forall x \in [0; 3] (2). Có thể thấy điều kiện (2) tương đương với : m \ge \mathop {\min }\limits_{{\rm{[}}0;3]}g(x). Bằng cách lập bảng biến thiên của g(x) trên đoạn [0; 3] ta thấy \mathop {\min }\limits_{{\rm{[}}0;3]}g(x) = g(0) = -3. Do vậy ta được điều kiện của m là m \ge -3.
Hướng 2. Ta thấy điều kiện (1) tương đương với \mathop {\min }\limits_{{\rm{[}}0;3]}f'(x) \ge 0. Mặt khác, f'(x) là hàm số bậc 2 với a = -1 < 0 nên nó đạt min trên [0; 3] tại f'(0) hoặc f'(3) (bạn hãy vẽ một Parabol với bề lõm quay xuống trên đoạn [0; 3] để thấy được điều này!). Lại có f'(0) = m + 3, f'(3) = 7m – 12. Như vậy để có \mathop {\min }\limits_{{\rm{[}}0;3]}f'(x) \ge 0 ta chỉ cần \left \{ \begin{array}{l} m + 3 \ge 0 \\ 7m - 12 \ge 0 \\ \end{array} \right., hay tương đương với  m \ge -3

Bài tập áp dụng :
Bài 1. Tìm m để hàm số : f(x) = x^3 + - 3(2m+1)x^2 + (12m+5)x + 2 đồng biến trên [2; + \infty)
Bài 2. Tìm m để hàm số : f(x) = \frac{x^2 + 5x + m^2 + 6}{x + 3} đồng biến trên (1 ; + \infty)

3. Dạng 3. Chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ 1. Chứng minh bất đẳng thức sau : cosx > 1 - \frac{x^2}{2},(1) \forall x \ne 0
Lời giải
+ Biến đổi : (1) \Leftrightarrow cosx - 1 + \frac{x^2}{2} > 0, (2) \forall x \ne 0

+ Xét hàm số : f(x) = cosx - 1 + \frac{x^2}{2}, x \ne 0, ta có : f'(x) = -sinx + x, f''(x) = -cosx + 1 \ge 0, \forall x.
Suy ra f'(x) là hàm số đồng biến trên R, do đó f'(x) = 0 có không quá 1 nghiệm. Mặt khác f'(0) = 0 nên x = 0 là nghiệm duy nhất của f'(x) = 0.
+ Lập bảng biến thiên ta được f(x) \ge f(0) = 0, do đó \forall x \ne 0 thì f(x) > f(0) = 0 nên (2) được chứng minh, vậy (1) được chứng minh.

Ví dụ 2. Chứng minh rằng :{x^2}.{y^4} + 2({x^2} + 2).{y^2} + 4xy + {x^2} \ge 4x.{y^3},\forall x,y
Lời giải
+ biến đổi (1) tương đương về : (y^2+1)^2.x^2 + 4y(1-y^2)x + 4y^2 \ge 0, \forall x, y
+ Xét f(x) = (y^2+1)^2.x^2 + 4y(1-y^2)x + 4y^2 coi là tam thức bậc 2 của x với a= (y^2 + 1)^2 > 0, \forall y do đó f(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại x = \frac{-b}{2a} = \frac{-2y(1-y^2)}{(y^2+1)^2},
+ Có f(\frac{-2y(1-y^2)}{(y^2+1)^2}) = \frac{{8{y^4}}}{{{{(1 + {y^2})}^2}}} \ge 0, \forall y và như vậy f(x) \ge f(\frac{-b}{2a}) \ge 0, \forall x,y. Bất đẳng thức (1) được chứng minh.
===> Chú ý : Hoàn toàn có thể xét đạo hàm để giải, việc lập bảng biến thiên cho ta kết quả không thay đổi là giá trị nhỏ nhất của f(x) sẽ đạt tại x = \frac{-b}{2a} = \frac{-2y(1-y^2)}{(y^2+1)^2}

Bài tập áp dụng :
Bài 1. Chứng minh rằng :tanx > x + \frac{x^3}{3}, \forall x \in (0; \frac{\pi}{2})

Bài 2. Chứng minh rằng :
a. 0 < \alpha \le \frac{3}{4}. Chứng minh : 2\alpha + \frac{1}{\alpha^3} > 3

b. {x^2} + 5{y^2} - 4xy + 2x - 6y + 3 > 0,\forall x,y

4. Dạng 4. Giải biện luận phương trình – bất phương trình

(sẽ trình bày sau)

a. Tập xác định R
+ y' = 4x^3 - 4x ; y' = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm1 \\ \end{array} \right.
+ bảng biến thiên :
Suy ra Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 0) và (1;+\infty);

nghịch biến trên các khoảng (-\infty; -1) và (0; 1).
b. Tập xác định D = [-\sqrt{10}; \sqrt{10}]
+ y' = \frac{10 - 2x^2}{(10 - x^2)\sqrt{10 - x^2}}; y' = 0 \Leftrightarrow x =\pm \sqrt{5}
+ Bảng biến thiên :
Suy ra Hàm số đồng biến trên khoảng (-\sqrt{5}; \sqrt{5}) và

nghịch biến trên các khoảng (-\sqrt{10}; -\sqrt{5}) và (\sqrt{5};

\sqrt{10})$.
c. Tập xác định R; hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2\pi, chỉ cần xét

trên đoạn có độ dài bằng 2\pi, chẳng hạn [0; 2\pi]
+ y' = -sinx - sin2x; y' = 0 \Leftrightarrow sinx(1 + 2cosx) = 0 \Leftrightarrow {x = 0, x = \frac{2\pi}{3}, x = \pi, x = \frac{4\pi}{3}, x = 2\pi
+ Bảng biến thiên :
Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng (0; \frac{2\pi}{3}) và

(\pi; \frac{4\pi}{3}); đồng biến trên các khoảng (\frac{2\pi} {3}; \pi) và (\frac{4\pi}{3}; 2\pi)

Chuyên mục:Chuyên đề Thẻ: