Trang chủ > Chuyên đề > Bài 1. Tính đơn điệu của hàm số (OTĐH)

Bài 1. Tính đơn điệu của hàm số (OTĐH)

I. Hàm số đơn điệu :
1. Định nghĩa : Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D \subset R\ (D là khoảng, đoạn, nửa khoảng trong R)
+ f(x) gọi là đồng biến trên D nếu : \forall x_1, x_2 \in D, x_1 < x_2 thì f(x_1) < f(x_2)
+ f(x) gọi là nghịch biến trên D nếu : \forall x_1, x_2 \in D, x_1 < x_2 thì f(x_1) > f(x_2)
+ Hàm số f(x) đồng biến hay nghịch biến trên D gọi chung là ĐƠN ĐIỆU  trên D.

2. Điều kiện cho hàm số đơn điệu
a. Điều kiện cần : Cho y = f(x) có đạo hàm trên miền D.
+ Nếu f(x) đồng biến trên D thì : f'(x) \ge 0 \forall x \in D
+ Nếu f(x) nghịch biến trên D thì : f'(x) \le 0 \forall x \in D
b. Điều kiện đủ : Cho y = f(x) khả vi (có đạo hàm) trên miền D.
+ Nếu f'(x) \ge 0, \forall x \in D và f’(x) = 0 tại hữu hạn điểm trên D thì f(x) đồng biến trên D
+ Nếu f'(x) \le 0, \forall x \in D và f’(x) = 0 tại hữu hạn điểm trên D thì f(x) nghịch biến trên D

* Nhận xét:
+ Các hàm số đa thức, phân thức và hàm số chứa căn mà ta xét thường chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm nên ta chỉ quan tâm đến dấu của đạo hàm là chủ yếu.
+ Các hàm số lượng giác tuần hoàn nên chỉ cần xét dấu đạo hàm trên một chu kì.

II. Vận dụng hai định lý trên xét tính đơn điệu của hàm số
1. Dạng 1. Xét tính đơn điệu
Các bước thực hiện :
+ Tìm tập xác định của hàm số
+ Tính đạo hàm f’(x), giải phương trình f’(x) = 0 và tìm các giá trị của x mà f’(x) không xác định
+ Lập bảng biến thiên (xét dấu đạo hàm) rồi kết luận

Ví dụ 1. Xét sự biến thiên của các hàm số sau :
a. y = f(x) = x^4 - 2x^2 +3
b. y = f(x) = \frac{x}{\sqrt{10 - x^2}}
c. y = f(x) = cosx + \frac{1}{2}cos2x
Lời giải
a. Tập xác định R
+ y' = 4x^3 - 4x ; y' = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm1 \\ \end{array} \right.
+ bảng biến thiên :

Suy ra Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 0) và (1;+\infty); nghịch biến trên các khoảng (-\infty; -1) và (0; 1).
b. Tập xác định D = [-\sqrt{10}; \sqrt{10}]
+ y' = \frac{10}{(10 - x^2)\sqrt{10 - x^2}}, \forall x \in D\backslash\{ -\sqrt {10} ,\sqrt {10}\};
+ Bảng biến thiên :


Suy ra Hàm số đồng biến trên D.
c. Tập xác định R; hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2\pi, chỉ cần xét trên đoạn có độ dài bằng 2\pi, chẳng hạn [0; 2\pi]
+ y' = -sinx - sin2x; y' = 0 \Leftrightarrow sinx(1 + 2cosx) = 0 \Leftrightarrow \{x = 0, x = \frac{2\pi}{3}, x = \pi, x = \frac{4\pi}{3}, x = 2\pi\}
+ Bảng biến thiên :
Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng (0; \frac{2\pi}{3})(\pi; \frac{4\pi}{3}); đồng biến trên các khoảng (\frac{2\pi}{3}; \pi)(\frac{4\pi}{3}; 2\pi)

Bài tập áp dụng :
Bài 1. Xét sự biến thiên của các hàm số sau :
a. y = f(x) =x^3 - 3x^2 + 1
c. y = f(x) = \frac{x - 1}{x + 2}
d. y = f(x) = x - 1 + \frac{1}{x + 2}
Bài 2. Xét sự biến thiên của các hàm số sau :
a. y = f(x) = x\sqrt{3-x}
b. y = f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 6}
c. y = f(x) = x - sin2x + 2

2. Dạng 2. Các bài toán chứa tham số

* Lưu ý : Với các bài toán tìm tham số, thường đòi hỏi tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến hay nghịch biến trên một khoảng nào đó. Thông thường có thể vận dụng điều kiện tam thức bậc hai để giải quyết. Tuy nhiên, hiện nay định lý đảo về dấu của tam thức bậc 2 không còn được trình bày trong chương trình phổ thông, do vậy, để xử lý trường hợp trên ta có thể vận dụng các hướng sau :

Hướng 1. Đạo hàm thu được chứa tham số chỉ có một bậc, ta có thể cô lập tham số về một vế trong bất phương trình : f'(x) \ge 0 hoặc f'(x) \le 0, để đưa được về dạng : \varphi(m) \le g(x) hoặc \varphi(m) \ge g(x). Tiếp đó lập bảng biến thiên của g(x) và tìm điều kiện tương ứng.

Hướng 2. Thông thường các bất phương trình : f'(x) \ge 0 hoặc f'(x) \le 0 là bậc 2, ta có thể sử dụng tính chất min, max của hàm số bậc 2 như sau : Cho hàm số y = h(x) = ax^2 + bx + c, (a \ne 0), trên [\alpha; \beta]. Khi đó ta có :

+ Nếu \frac{-b}{2a} \in [\alpha; \beta] thì \mathop {\min }\limits_{{\rm{[}}\alpha {\rm{;}}\beta {\rm{]}}} h(x) = \min \{ h(\alpha ),h(\beta ),h({\textstyle{{ - b} \over {2a}}}){\rm{\} }};\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}}\alpha {\rm{;}}\beta {\rm{]}}} h(x) = {\mathop{\rm m}\nolimits} {\rm{ax}}\{ h(\alpha ),h(\beta ),h({\textstyle{{ - b} \over {2a}}}){\rm{\} }}

+ Nếu \frac{-b}{2a} \not \in [\alpha; \beta] thì \mathop {\min }\limits_{{\rm{[}}\alpha {\rm{;}}\beta {\rm{]}}} h(x) = \min \{ h(\alpha ),h(\beta ){\rm{\} }};\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}}\alpha {\rm{;}}\beta {\rm{]}}} h(x) = {\mathop{\rm m}\nolimits} {\rm{ax}}\{ h(\alpha ),h(\beta ){\rm{\} }}
Ví dụ 1. Tìm m để hàm số : f(x) = \frac{1}{3}x^3 + mx^2 + 4x + 3 đồng biến trên R
Lời giải
+ ta có f'(x) = x^2 + 2mx + 4; hàm số đồng biến trên R khi f'(x) \ge 0, \forall x \in R(1)
+ f’(x) là tam thức bậc 2 với hệ số a = 1 > 0 nên điều kiện (1) tương đương với \Delta \le 0; giải điều kiện \Delta' \le 0 ta được |m| \le 2.
* Nhận xét : Có thể thấy điều kiện (1) tương đương với : minf'(x) = f'(-m) = -m^2 + 4 \ge 0 \Leftrightarrow |m| \le 2, điều này có được do tính chất của hàm số bậc 2 với hệ số a = 1 > 0, trên R thì đạt min tại đỉnh, mà điều kiện (1) cho thấy min của f’(x) phải không âm.
Ví dụ 2. Tìm m để hàm số : f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + (m-1)x^2 + (m+3)x + 3 đồng biến trên (0; 3)
Lời giải
+ Chú ý rằng f(x) là một hàm số liên tục trên R nên ta có thể xét rộng ra trên đoạn [0; 3]. Khi đó điều kiện bài toán tương đương với :
f'(x) = -x^2 + 2(m - 1)x + m + 3 \ge 0, \forall x \in [0; 3] (1)
Hướng 1. Ta cô lập m như sau :
(1) \Leftrightarrow (2x + 1)m \ge x^2 + 2x - 3, \forall x \in [0; 3] (1'), và chú ý rằng với \forall x \in [0; 3] thì 2x + 1 > 0, nên ta có thể viết lại (1') \Leftrightarrow m \ge \frac{x^2 + 2x - 3}{2x + 1} = g(x), \forall x \in [0; 3] (2). Có thể thấy điều kiện (2) tương đương với : m \ge \mathop {\min }\limits_{{\rm{[}}0;3]}g(x). Bằng cách lập bảng biến thiên của g(x) trên đoạn [0; 3] ta thấy \mathop {\min }\limits_{{\rm{[}}0;3]}g(x) = g(0) = -3. Do vậy ta được điều kiện của m là m \ge -3.
Hướng 2. Ta thấy điều kiện (1) tương đương với \mathop {\min }\limits_{{\rm{[}}0;3]}f'(x) \ge 0. Mặt khác, f’(x) là hàm số bậc 2 với a = -1 < 0 nên nó đạt min trên [0; 3] tại f’(0) hoặc f’(3) (bạn hãy vẽ một Parabol với bề lõm quay xuống trên đoạn [0; 3] để thấy được điều này!). Lại có f’(0) = m + 3, f’(3) = 7m – 12. Như vậy để có \mathop {\min }\limits_{{\rm{[}}0;3]}f'(x) \ge 0 ta chỉ cần \left \{ \begin{array}{l} m + 3 \ge 0 \\ 7m - 12 \ge 0 \\ \end{array} \right., hay tương đương với  m \ge -3

Bài tập áp dụng :
Bài 1. Tìm m để hàm số : f(x) = x^3 + - 3(2m+1)x^2 + (12m+5)x + 2 đồng biến trên [2; + \infty)
Bài 2. Tìm m để hàm số : f(x) = \frac{x^2 + 5x + m^2 + 6}{x + 3} đồng biến trên (1 ; + \infty)

3. Dạng 3. Chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ 1. Chứng minh bất đẳng thức sau : cosx > 1 - \frac{x^2}{2},(1) \forall x \ne 0
Lời giải
+ Biến đổi : (1) \Leftrightarrow cosx - 1 + \frac{x^2}{2} > 0, (2) \forall x \ne 0

+ Xét hàm số : f(x) = cosx - 1 + \frac{x^2}{2}, x \ne 0, ta có : f'(x) = -sinx + x, f''(x) = -cosx + 1 \ge 0, \forall x.
Suy ra f’(x) là hàm số đồng biến trên R, do đó f’(x) = 0 có không quá 1 nghiệm. Mặt khác f’(0) = 0 nên x = 0 là nghiệm duy nhất của f’(x) = 0.
+ Lập bảng biến thiên ta được f(x) \ge f(0) = 0, do đó \forall x \ne 0 thì f(x) > f(0) = 0 nên (2) được chứng minh, vậy (1) được chứng minh.

Ví dụ 2. Chứng minh rằng :{x^2}.{y^4} + 2({x^2} + 2).{y^2} + 4xy + {x^2} \ge 4x.{y^3},\forall x,y
Lời giải
+ biến đổi (1) tương đương về : (y^2+1)^2.x^2 + 4y(1-y^2)x + 4y^2 \ge 0, \forall x, y
+ Xét f(x) = (y^2+1)^2.x^2 + 4y(1-y^2)x + 4y^2 coi là tam thức bậc 2 của x với a= (y^2 + 1)^2 > 0, \forall y do đó f(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại x = \frac{-b}{2a} = \frac{-2y(1-y^2)}{(y^2+1)^2},
+ Có f(\frac{-2y(1-y^2)}{(y^2+1)^2}) = \frac{{8{y^4}}}{{{{(1 + {y^2})}^2}}} \ge 0, \forall y và như vậy f(x) \ge f(\frac{-b}{2a}) \ge 0, \forall x,y. Bất đẳng thức (1) được chứng minh.
===> Chú ý : Hoàn toàn có thể xét đạo hàm để giải, việc lập bảng biến thiên cho ta kết quả không thay đổi là giá trị nhỏ nhất của f(x) sẽ đạt tại x = \frac{-b}{2a} = \frac{-2y(1-y^2)}{(y^2+1)^2}

Bài tập áp dụng :
Bài 1. Chứng minh rằng :tanx > x + \frac{x^3}{3}, \forall x \in (0; \frac{\pi}{2})

Bài 2. Chứng minh rằng :
a. 0 < \alpha \le \frac{3}{4}. Chứng minh : 2\alpha + \frac{1}{\alpha^3} > 3

b. {x^2} + 5{y^2} - 4xy + 2x - 6y + 3 > 0,\forall x,y

4. Dạng 4. Giải biện luận phương trình – bất phương trình

(sẽ trình bày sau)

a. Tập xác định R
+ y' = 4x^3 - 4x ; y' = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0    \\ x = \pm1 \\ \end{array} \right.
+ bảng biến thiên :
Suy ra Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 0) và (1;+\infty);

nghịch biến trên các khoảng (-\infty; -1) và (0; 1).
b. Tập xác định D = [-\sqrt{10}; \sqrt{10}]
+ y' = \frac{10 - 2x^2}{(10 - x^2)\sqrt{10 - x^2}}; y' = 0    \Leftrightarrow x =\pm \sqrt{5}
+ Bảng biến thiên :
Suy ra Hàm số đồng biến trên khoảng (-\sqrt{5}; \sqrt{5})

nghịch biến trên các khoảng (-\sqrt{10}; -\sqrt{5}) và (\sqrt{5};

\sqrt{10})$.
c. Tập xác định R; hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2\pi, chỉ cần xét

trên đoạn có độ dài bằng 2\pi, chẳng hạn [0; 2\pi]
+ y' = -sinx - sin2x; y' = 0 \Leftrightarrow sinx(1 + 2cosx) =    0 \Leftrightarrow {x = 0, x = \frac{2\pi}{3}, x = \pi, x = \frac{4\pi}{3}, x    = 2\pi
+ Bảng biến thiên :
Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng (0; \frac{2\pi}{3})

(\pi; \frac{4\pi}{3}); đồng biến trên các khoảng (\frac{2\pi}    {3}; \pi)(\frac{4\pi}{3}; 2\pi)

About these ads
Categories: Chuyên đề Thẻ:
  1. Chưa có phản hồi.
  1. No trackbacks yet.

Gửi phản hồi

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: